搜索与回溯算法-白红宇

搜索与回溯算法

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发布时间：2019-05-22

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为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。

一、前言

搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。

如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。

二、搜索框架

递归回溯法算法框架[一]int Search(int k){
   　for (i=1;i<=算符种数;i++)　　if (满足条件)　　   {
   　　　　保存结果　　　　if (到目的地) 输出解;　　　           else Search(k+1);　　　　恢复：保存结果之前的状态{
   回溯一步}　 　  }}递归回溯法算法框架[二]int Search(int k)　{
   　  if  (到目的地) 输出解;　　　else　　　　for (i=1;i<=算符种数;i++)　　　　　if  (满足条件) 　　　　　　　{
   　　　　　　　　保存结果;　　　                  Search(k+1);　　　　　　　　恢复：保存结果之前的状态{
   回溯一步}　　　　　　　}　}

三、例题

【例1】

【题目】素数环:从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。

【算法分析】

非常明显，这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。

【算法流程】

1、数据初始化； 2、递归填数：判断第i个数填入是否合法；

A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；

B、如果不合法：选择下一种可能；

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;bool b[21]={
   0};int total=0,a[21]={
   0};int search(int);                           //回溯过程int print();                               //输出方案bool pd(int,int);                          //判断素数int main(){
       search(1);    cout<
       
        <
        
         "; for (int j=1;j<=20;j++) cout<
         
          <<" "; cout<
          
           sqrt(i)) return 1; else return 0;}//最终答案有6309300种方式

【例2】

【题目】设有n个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数进行排列（r<n），试列出所有的排列。

/**搜索和回溯基本框架search(i){	for(所有算子){		if(条件成立){			存储结果			if(到达目的地) 输出			else search(i+1)			回溯		}	}}*/#include
   
    #include
    
     #include
     
      using namespace std;int num=0,a[10001]= {
   0},n,r;bool b[10001]= {
   0};int search(int);       //回溯过程int print();         //输出方案int main() {
   	cout<<"input n,r:";	cin>>n>>r;	search(1);	cout<<"number="<
      
       <

【例3】

【题目】任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。

当n=7共14种拆分方法：

7=1+1+1+1+1+1+1

7=1+1+1+1+1+2

7=1+1+1+1+3

7=1+1+1+2+2

7=1+1+1+4

7=1+1+2+3

7=1+1+5

7=1+2+2+2

7=1+2+4

7=1+3+3

7=1+6

7=2+2+3

7=2+5

7=3+4

total=14

【参考程序】

#include
   
    #include
    
     #include
     
      using namespace std;int a[10001]= {
   1},n,total;int search(int,int);//在指定开始位置的数组中存储指定大小的数int print(int);int main() {
   	cin>>n;	search(n,1);	//将要拆分的数n传递给s	cout<<"total="<
      
       <
       
        0时，继续递归			s+=i;//回溯：加上拆分的数，以便产分所有可能的拆分		}}int print(int t) {
   	cout<
        
         <<"="; for (int i=1; i<=t-1; i++)//输出一种拆分方案 cout<
         
          <<"+"; cout<
          
           <

【例4】

【题目】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）

放置第ｉ个(行)皇后的算法为：

int search(i)；

　{

　　 int j;

　　　for (第i个皇后的位置j=1;j<=8;j++ ) //在本行的8列中去试

　　　if (本行本列允许放置皇后)

　　　　{

　　　　　放置第i个皇后；

对放置皇后的位置进行标记；

　　　　　if (i==8) 输出 //已经放完个皇后

　　　　　　 else search(i+1)； //放置第i+1个皇后

　　　　　对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行；

　　　　}

【算法分析】

显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在／斜线上的行列值之和相同；如果同在＼斜线上的行列值之差相同；从下图可验证：

考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组Ａ[1…8]表示皇后的放置：第ｉ行皇后放在第ｊ列，用Ａ[i]＝j来表示，即下标是行数，内容是列数。例如：A[3]=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。

判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组ｂ[1…8]控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组ｃ[1…16]、ｄ[-7…7]控制同一对角线上只能有一个皇后。

如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后I和J不在同一列或斜线上的条件可以描述为：A[I]<>A[J] AND ABS(I-J)<>ABS(A[I]-A[J]){I和J分别表示两个皇后的行号}

【参考程序】

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;bool d[100]={
   0},b[100]={
   0},c[100]={
   0};int sum=0,a[100];int search(int);int print();int main(){
      search(1);                                                          //从第1个皇后开始放置}int search(int i){
   	int j;	for (j=1;j<=8;j++)                                              //每个皇后都有8位置(列)可以试放		if ((!b[j])&&(!c[i+j])&&(!d[i-j+7]))                   //寻找放置皇后的位置		//由于C++不能操作负数组，因此考虑加7		{
                                                                     //放置皇后,建立相应标志值			a[i]=j;                                                          //摆放皇后			b[j]=1;                                                         //宣布占领第j列			c[i+j]=1;                                                      //占领两个对角线			d[i-j+7]=1;			if (i==8) print();                                           //８个皇后都放置好,输出			else search(i+1);                                      //继续递归放置下一个皇后			b[j]=0;                                                        //递归返回即为回溯一步,当前皇后退出			c[i+j]=0;			d[i-j+7]=0;		}}int print(){
       int i;    sum++;                                                        //方案数累加1    cout<<"sum="<
       
        <

【例5】

马的遍历，中国象棋半张棋盘如图4（a）所示。马自左下角往右上角跳。今规定只许往右跳，不许往左跳。比如图4（a）中所示为一种跳行路线，并将所经路线打印出来。打印格式为：0,0->2,1->3,3->1,4->3,5->2,7->4,8…

【算法分析】

如图4（b）,马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i,则四个方向的移动可表示为：

1: （i,j）→（i+2,j+1）； (i<3,j<8)

2: （i,j）→（i+1,j+2）； (i<4,j<7)

3: （i,j）→（i-1,j+2）； (i>0,j<7)

4: （i,j）→（i-2,j+1）； (i>1,j<8)

搜索策略：

S1:Ａ[１]:=(0,0);

S2:从Ａ[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是（4,8）则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点；

S3:打印路径。

#include
   
    #include
    
     #include
     
      using namespace std;int a[100][100],t=0;                 //路径总数和路径int x[4]={
   2,1,-1,-2},                 //四种移动规则y[4]={
   1,2,2,1};int search(int);                       //搜索 int print(int);                           //打印int main()                               //主程序{
   	a[1][1]=0;a[1][2]=0;             //从坐标(0,0)开始往右跳第二步	search(2); };         int search(int i){
   	for (int j=0;j<=3;j++)                                  //往4个方向跳	if (a[i-1][1]+x[j]>=0&&a[i-1][1]+x[j]<=4		&&a[i-1][2]+y[j]>=0&&a[i-1][2]+y[j]<=8) //判断马不越界	{
   		a[i][1]=a[i-1][1]+x[j];                              //保存当前马的位置		a[i][2]=a[i-1][2]+y[j];		if(a[i][1]==4&&a[i][2]==8) print(i);		else search(i+1);    //搜索下一步	}}int print(int ii){
   	t++;	cout<
      
       <<":  ";	for(int i=1;i<=ii-1;i++)		cout<
       
        <<","<
        
         <<"-->"; cout<<"4,8"<